д-р Лъчезар П. Томов

„Хората (или учениците) нямат недостатъци, само уникалност. Целта на добрия учител е да превърне тази уникалност в предимство.“
Израел Гелфанд

„Математиката за мен е един универсален и адекватен език на науките и е пример как хора от различни култури и среда могат да общуват и работят заедно. Това е изключително важно в наше време.“
Израел Гелфанд, в реч при приемане на наградата на името на Лирой Стийл

Историята на Израел Гелфанд

Израел Гелфанд се нарежда сред най-големите учени на двадесети век. Роден е на 2.09.1913 г. в град близо до Одеса и умира на 5.10.2009 г. Талант от първа величина, той изследва и открива сам много теореми, доказателства и модели в математиката (вкл. табличните стойности на тригонометричните функции). Той казва, че в училище е получил най-важното – окуражаване от своя учител. В девети клас е изгонен от училище като син на буржоазен елемент (нетрудов елемент). През следващите 7 години, той има достъп до много базови учебници по висша математика, изостанали от съвременното развитие на анализа и алгебрата. Това е период, който той нарича „артистичен“, време, в което експериментира и открива сам най-различни зависимости. Откритието, че не всички проблеми в геометрията могат да се решат алгебрично (и са нужни специални функции като тригонометричните) оставя дълбок отпечатък у младия Гелфанд. Скоро следва и обратното откритие, дошло на болничното легло – функцията sin(x) може да се изчисли като сума на безкраен брой елементи (безкраен ред). Тогава той е повярвал в единството и хармонията на математиката и в скритите връзки между отделните нейни клонове, изглеждащи несвързани на пръв поглед. Това е предопределило и посоката на неговите изследвания, и на начина, по който той преподава.

След седем години самостоятелно учене, Гелфанд отива да работи в Москва, в библиотеката на Ленин. Там получава достъп до съвременна литература от всеки клон на науките и изкуствата, възможност да говори със студенти по математика и да посещава семинари. Скоро той започва да преподава на студентите и е приет като докторант, без да има дори гимназиална диплома. Тогавашната система не е била достатъчно регулирана и формализирана, за да спре този негов скок. Свободата е позволила на този гений да се развие по най-добрия възможен начин. Освободен от гимназия, той се учи със собствени сили и своя скорост, а приемането му за докторант без необходимата диплома поради острата кадрова нужда на СССР му помага да се развие максимално. Както той разказва в анекдот: „Преподавателят се ядосал на студентите, които не разбирали и им казал: – Как така не разбирате? Пет пъти ви обясних, вече дори аз разбрах това, което ви преподавам.“.

През дългия си живот, Израел Гелфанд има редица открития от първа величина в различни клонове на висшата математика като теория на групите (алгебра), функционалния анализ, геометрия. Изследвания прави и в молекулярната биология и медицината и дори ръководи семинар по тази тема. Печели редица награди, сред наградата „Волф“, наградата „Киото“, медала на името на Лирой Стийл и др. За свои учители той изброява редица големи имена от СССР, като най-голямо влияние отдава на Андрей Колмогоров, от когото научава, че „истинският математик трябва да бъде философ по природа“. Освен приносите си в науката, той има и приноси в педагогиката, които са предметът на статията. Именно той е създател на дистанционното обучение чрез кореспонденция, първо в СССР, после и в САЩ, към университета Рътгърс (Rutgers University). Негови ученици са редица влиятелни математици като Александър Кирилов, Ендре Шемереди и др. Влиянието, което упражнява в математиката чрез своите работи и тези на неговите ученици, се оценява като едно от най-големите през 20-ти век.

Ролята на доброто обяснение

„Математиката е много проста, ако я разбирате. Изглежда твърде усложнена, защото учениците в гимназията трябва да научат, понякога дори наизуст много и несвързан помежду си материал. Математиката се състои всъщност от няколко базови концепции, които прилагаме.“
Израел Гелфанд

Ранният опит чрез самообучение на Гелфанд е близък до опита на Дьорд Поѝа, поради което и методите на преподаване им са сходни. Също както редица големи имена в математиката, които са били добри педагози като Хилберт или Курант, той набляга на простотата на обяснението, нагледността и интуитивното описание.

“Обяснете ми това чрез прост пример, аз ще мога да си изведа трудния пример и сам.“ – казвал той. „Не се страхувайте да задавате прости въпроси и да получавате прости отговори.“ – е друга негова, често повтаряна сентенция.

Работата му на педагог прилича на работата му като математик, като тук той е сходен с Хилберт (от когото се е учил и Колмогоров, ръководителят на дисертацията на Гелфанд). Той разбира математиката в дълбочина, вижда нейното единство и хармония и намира начини да представи по-просто всеки един проблем. За него един Московски математик казва: „Гелфанд не може да доказва трудни теореми. Той просто превръща всяка една теорема в лесна.“. Пример за просто обяснение в елементарната математика приписвано на него е следният:

Хората си мислят, че не разбират математиката, но всичко зависи от това как ще им я обясните. Ако попитате „Кое число е по-голямо – 2/3 или 3/5?“, може би няма да дадат правилен отговор. Но ако промените въпроса „Кое е по-добре – две бутилки водка на трима или три бутилки на петима?“, веднага ще ви отговорят „Разбира се, две бутилки на трима!“.

Едва осемнадесетгодишен и без формално образование, Гелфанд преподава на по-възрастни от него студенти, но бързо става известен с гъвкавия си стил, адаптиращ се към индивидуалните особености на студентите. Когато замества други преподаватели, в края на периода студентите често се оплакват, че не искат те да се връщат обратно. Според свидетелства на негови колеги, той използва най-простите примери, но ги преобръща под нови, неочаквани ъгли– намира връзките между различни дялове на математиката и ги демонстрира. Това е имал предвид, когато казва, че добрият математик трябва да е философ по природа. Философът разкрива връзките между отделните предмети, обединява ги в единно знание, показва любов към мъдростта. Самият Питагор, на въпрос с какви изкуства (като геометрия, музика, астрономия) се занимава, отвръща така: „Аз не се занимава с изкуства. Аз съм философ.“. Философът по природа търси единството на природата, отблясъкът от учението на Парменид, единството на знанието. Гелфанд не преподава функционален анализ, теория на репрезентациите или теория на групите, той преподава математика. Започва от простото и дава възможност на студентите и учениците сами да разработят сложното – това е негов метод за преподаване, чрез решаване на задачи, същият, който прилага и друг голям математик и педагог – Дьорд Поѝа. Доброто обяснение е простото обяснение, а сложното е следствие на простото и трябва да се развива колкото се може повече самостоятелно.

---

Автор: д-р Лъчезар Томов, за „Институт за прогресивно образование“