Думи и дефиниции

Когато разглеждаме думите и определенията, които децата трябва да научат, трябва да внимаваме, да не научат „само“ думи. Възможно е да породите илюзия за знание, като преподавате техническия жаргон, който някой използва в дадена научна област (който жаргон звучи необичайно на непосветените), без в същото време да се преподават каквито и да било идеи или факти чрез използването на тези думи. Много от учебниците по математика, които се предлагат, са пълни с такива безсмислици – с внимателно и прецизно определени думи, използвани само от чистите математици в техните най-тънки и трудни анализи.

На второ място, думите, които се използват, трябва да бъдат възможно най-близко до тези в ежедневния ни език, или, като минимално изискване, да бъдат точно същите думи, използвани от потребителите на математика в науката и в инженерството.

Да вземем за пример геометрията. В геометрията е необходимо да се научат много нови думи, свързани с математиката. Например, човек трябва да научи какво е триъгълник, квадрат, кръг, права, ъгъл и крива линия. Но той не трябва да се задоволява само с това да научи думите. Поне някъде трябва да научи факти за обектите, към които сочат думите, като: площта на различни фигури; връзката на една фигура с друга; как да измерва ъгли; фактът, че сборът от ъглите в триъгълника е 180 градуса; теоремата на Питагор; правилата, от които следва еднаквостта на триъгълниците; или други геометрични факти. Геометрията, ако се учи изобщо, би трябвало да включва разумно количество знание за геометричните фигури, освен какво са конвенционалните им названия.

Някои от учебниците разясняват в детайли определенията за отворени криви, затворени криви, затворени области и отворени области и т.н. – и те не учат на повече геометрия от факта, че права, начертана в равнина, я разделя на две части. Често общият брой факти, които се научават, е много малък, докато общият брой думи е много голям. Нещо повече, има тенденцията да се използват дори думите, използвани в най-техническия жаргон на чистите математици. Няма никаква причина това да е така.

Ще бъде много лесно за учениците да научат новите думи, когато и ако станат чисти математици и обсъждат с други математици основите на геометрията. Много е лесно, наистина, да се научиш да използваш тези думи по нов начин, когато си по-възрастен. Голяма част от възраженията на родителите към т.нар. нова математика, се пораждат от това, че намират за безсмислено и глупаво детето им да им обяснява, как „правата“ всъщност е „крива“.

Точен език

По отношение на използването на думи, в учебниците по нова математика се говори много за ценността на точния (прецизен) език – например, че трябва много да внимаваме да разграничим числото от цифрите и като цяло, символа от обекта, който той представлява. Истинският проблем на речта не е неточният език. Проблемът е неясният език. Важно е да се изрази идеята ясно и разбираемо за другия. Необходимо е да си точен, само когато има съмнение за значението на фразата и тогава точността трябва да е на това място, за което има съмнение в смисъла. Наистина е невъзможно да кажеш каквото и да е твърдение с абсолютна точност, освен ако то е толкова абстрактно, че не представлява каквото и да е реално нещо.

Чистата математика е точно такава абстракция на истинския свят и чистите математици имат специален точен език за справяне със своите специални и технически теми. Но този точен език не е точен в какъвто и да било смисъл, ако работиш с обектите от реалния свят и е твърде педантичен и объркващ за употреба, освен ако има специални тънкости в понятията, които трябва да бъдат внимателно разграничени.

Ясна разлика

Един елементарен пример от учебник – педантично се настоява, че една топка и рисунката на топка не са едно и също нещо. Едва ли някое дете ще направи грешка в това. Следователно, излишно е да бъдем точни с изказа и всеки път да казваме: „Оцвети рисунката на топката в червено“ вместо „Оцвети топката в червено“.

В интерес на истината е невъзможно да бъдем точни. Увеличаването на точността за „оцветете рисунката на топка“ започва да поражда съмнения – рисунката на топка включва кръг и фон, трябва ли да оцветим цялата квадратна площ, в която се намира изображението на топката, или само частта на кръга на топката? Оцветяването на топката в червено е ясно. Оцветяването на рисунката на топката в червено е малко двусмислено.

Въпреки че примерът е обикновен, тази увеличена прецизност се разраства като болест в много учебници до такава степен, че има почти неразбираемо сложни изречения, за да се каже най-простото нещо. В учебник за първи клас се среща изречение от типа „Разберете дали множеството на близалките е равно по мощност на множеството от момичетата“ – докато се има предвид това: „Разберете дали има по една близалка за момичетата“.

Дори родителят ще бъде уплашен от този език. Не се казва нищо повече, нито се казва по-прецизно от въпроса „Разберете дали има по една близалка за момичетата“ – напълно разбираема фраза за всяко дете и всеки родител. Няма нужда от тази безсмислица на изключително специален език, просто защото този тип език се използва от чисти математици. Човек не научава даден предмет като използва думите, които използват хората, които знаят предмета, когато го обсъждат. Човек трябва да се научи да борави с идеите и тогава, когато се появяват тънките разлики в смисъла, които изискват специален език, този специален език може да бъде използван и развит лесно. Но дотогава яснотата е за предпочитане.

Всички упражнения във всички книги и учебници от първата до осмата година би трябвало да са разбираеми за всеки възрастен – т.е. въпросът за това какво трябва да се открие трябва да е ясен на всеки. Може би не всеки възрастен ще може да реши всички задачи, може би са забравили своята аритметика и не могат да получат лесно ⅔ от ¼ от 1-⅓, но те поне трябва да разбират, че произведението е това, което се търси.

Чрез слагането на специален език в учебниците изглежда, че се учи друг предмет и родителят (вкл. високо подготвени инженери) е неспособен да помогне на детето или да разбере за какво става дума. Такава липса на разбиране е напълно излишна и абсолютно никаква полза не може да се твърди, че има от използването на необичайни думи, когато обичайните думи са достъпни, широко използвани и еднакво ясни (обикновено, в действителност – много по-ясни).

Нови дефиниции – и никакви факти

Всяка тема в учебника трябва да бъде представена по такъв начин, че целта на представянето да е видима. Причината защо темата е там трябва да е ясна, ползата от темата и нейното значение за света трябва да бъде ясна за ученика.

Вземаме като пример темата за множествата. В материала за множествата в учебниците не се дава обяснение защо тази концепция представлява интерес или е от някаква полза. Единственото нещо, което се казва е: „Концепцията за множества е много близка до ума“. Това в действителност е вярно. Идеята за множества е толкова близка до ума, че не разбираме нуждата от търпеливо обсъждане на темата отново и отново от няколко учебника, ако те не се използват изобщо след това.

Разглеждаме пример за употребата на думи и нови дефиниции на нови думи без да са дадени никакви факти. Пазач в зоологическата градина, който нарежда на асистента си да извади болните гущери от клетката, би могъл да каже: „Вземи множеството от животни, което е сечението на множеството от гущери с множеството от болни животни от клетката“. Този език е коректен, точен език от теорията на множествата, но не казва нищо повече от: „Извади болните гущери от клетката“. Концепцията за неща, които имат общи свойства, бидейки членове на общи групи, включва сечения на множества, но в живота човек не използва този език. Освен това хората, които използват математика в науката, инженерството и т.н., никога не използват дългите изречения на нашия въображаем пазач в зоологическа градина и никаква загуба на точност не произлиза от това.

Ако искаме да кажем: „Отговорът е цяло число по-малко от 9 и по-голямо от 6“, не се налага да казваме: „Отговорът е елемент на множеството, което е сечение на множеството на числата по-големи от 6 и множеството на числата по-малки от 9“.

Може би ще изненада повечето хора, които са изучавали по-старите учебници, да открият, че символите ∪ или ∩, представляващи обединението и сечението на множества, специалната употреба на скобите {} и т.н., почти никога не се появяват в писанията по теоретична физика, в инженерството, в бизнес аритметиката, компютърния дизайн, или другите места, в които се използва математиката. Тогава, каква е нуждата това да бъде обяснявано или преподавано в училище, ако не е полезно?! Твърди се, че изразяването по този начин е точно, но точно за каква цел? Трябва ни ясен и прост начин да се изразяваме, за да бъдем разбрани.

Как да направим новата математика полезна

В „новата“ математика:

• първо, трябва да има свобода на мисълта;
• второ, ние не искаме да преподаваме само думи;
• и трето, темите трябва да бъдат представяни с обяснение на целта за това, т.е. как материалът би могъл да бъде използван, да се открие нещо интересно.

Така с ясно обяснение и използване на факти, които показват интересното за приложението на темите, всеки ще може да открие защо математиката е полезна за него.

---

Автор: д-р Лъчезар Томов, за „Институт за прогресивно образование“

Очаквайте скоро нова публикация в рубриката „Какво обичам в математиката“ с д-р Лъчезар Томов.