Добавянето – по стария начин

В старите книги добавянето се прави по строго определен начин, без никакви разнообразни трикове или техники. Първо научаваме по-опростените суми чрез рисуване на снимки на патици – 5 патици и 3 патици, плуващи заедно, прави 8 патици и т.н., което е напълно удовлетворителен метод. След това тези числа се запаметяват, което отново е удовлетворително. Но ако числата са по-големи от 10, се използва напълно различна техника – първо се обяснява как да се напишат числата, по-големи от 10, и след това се дават правила за събиране на двуцифрени числа, без добавяне наум отначало. Едва в трети клас пренасянето (добавянето наум) може да се извърши за първи път.

Недоволството от стария начин не е в това, че самите методи, използвани за преподаване на добавяне са незадоволителни – всички са добри. Бедата е, че има толкова малко позволени методи, че резултатът може да бъде единствено негъвкаво и формално знание по аритметика.

Например, една задача като 29 + 3 не е позволена до трети клас, не се дава в първи и втори клас, като се предполага, че детето е неспособно да я реши, защото е необходимо да направи пренасяне (едно наум). От друга страна, ако наистина разбираш какво представлява събирането, можеш да получиш резултата на 29 + 3 не много дълго, след като се научиш да броиш. Много рано – още в първи клас – можеш да го направиш, като просто помислиш 30, 31, 32.

Вярно е, че този метод е бавен, но ако никой друг метод не е достъпен, тогава това е методът, който трябва да бъде използван и би трябвало да е разрешено да се използва. Би трябвало да е едно от възможните неща, което едно дете би могло да направи, когато трябва да събира по всеки възможен начин, в трудна задача. Докато расте, ученикът може да увеличи ефикасността си в решаването на задачи, като използва други методи, но би трябвало да е възможно да може да събира от най-ранна възраст с всякакви числа с разумна големина. Наистина, няма нищо различно между добавянето на 3 към 6 и добавянето на 3 към 29, само това, че техническият и като цяло по-ефективен подход, който използваме, когато пораснем, е малко по-различен.

Ограничен подход

По отношение на разбирането на смисъла на добавянето на две числа – смисъла на сбора и как да го получим – няма разлика между двете задачи. Затова възражението към стандартния текст е това, че се дава само един метод за събиране – когато числата са малки, запаметяваме ги; когато числата са по-големи, добавяме ги формално, като ги записваме едно под друго в колона и не използваме пренасяне до втори клас. Това е изключително ограничаващо за две години на обучение. Ако едно дете не може или е неспособно да научи формалните правила, все още би трябвало да е възможно за него да получи решението на проста задача, като брои, или като използва числова линия, или чрез други технически методи.

С оглед развитието на умствената нагласа, която е необходима по-късно, ние би трябвало да се опитаме да дадем възможно най-широка гама от математически опит. Сборът не би трябвало да се появява винаги в една и съща форма. Няма причина всеки сбор да бъде написан така:

    17
+
    15  

и под чертата да се явява резултатът.

Задача като: 17 + = 32 е донякъде различен вариант, но е абсолютно същият въпрос с числа.

Нека оставим ученика в първи клас да измисли свой начин да получи решението на тази задача. Това е точно типа задача, който той ще трябва да решава по-късно, ако стане инженер. Нямам предвид, че ще трябва да се научи да изважда. Това, което имам предвид е, че трябва да се справя с позната ситуация в нова форма. Задачата е да попълни празното място по който и да е метод. Все пак, когато попълни празното място, отговорът трябва да е верен.

В инженерните науки и физиката обикновено не бихме се интересували как някой е получил резултата (15 да е записано на празното място), стига той да покаже, че 15 работи, просто като го добави към 17 и стигне до верния резултат 32. Единственият път, когато бихме се заинтересували да знаем как е получил 15, е когато това е първият път, в който някога се е решавала подобна задача и никой не е знаел начин да я реши преди това – или ако изглежда вероятно подобна задача да се появява отново и отново в бъдеще поради нов технически напредък и бихме искали по-ефикасен метод. Тогава би имало полза да обсъдим различните методи за получаване на 15.

Така, тази задача 17 + = 32 е аналог на общия проблем на приложната математика, да намериш начин да попълниш празното място с число, получено по който и да било метод. Това е задача, която лесно може да бъде дадена много рано в първи клас, оставяйки свобода на децата да се опитат да получат решенията по който метод желаят, като разбира се не са позволени грешните отговори. Резултатът трябва да бъде проверен накрая.

Развиването на свобода

Ето още един пример как да развиваме свобода, в малко по-сложна форма. Два пъти неизвестно число + 3 е 9. Кое е неизвестното число?

2 × + 3 = 9

Това, разбира се, е алгебра и има строго определени правила за решаването на такава задача – изваждане на 3 от двете страни и делене на 2. Но броя алгебрични уравнения, които могат да бъдат решени чрез определени правила, е много малък.

Друг начин е да се опитват различни числа за празното място, докато някое пасне. Този начин би трябвало да е достъпен на децата от много ранна възраст. С други думи, задачите трябва да бъдат поставяни в много различни форми. На децата би трябвало да им е позволено да отгатват и да стигнат до отговорите по който начин желаят, чрез тези конкретни факти, които се е случило да запаметят. Разбира се, необходимо е с времето те да запаметяват основните факти от събирането (като 2 + 2 = 4), обичайните методи за събиране, умножение, деление и т.н. в допълнение към това да им бъде позволена свободата на решаване и на различните форми, в които се представят задачите.

По-късно, в по-трудната работа в инженерството, когато имаме по-сложни алгебрични уравнения, единственият достъпен метод е, в действителност, да опитваме наслуки с числа. Това фундаментално е метод с огромна сила и ще трябва да се научи по-късно от студента или от инженера. Старото учение, че за всеки проблем има строго определен, фиксиран метод, е вярно само за най-простите проблеми. За по-сложните проблеми, които изникват в практиката, няма определен метод и един от най-добрите начини да решаваме сложни алгебрични уравнения е чрез проба и грешка.

Друго упражнение, което включва по-голяма степен на свобода, е опитът да се познае някакво правило. Този тип задача се появява в по-сложна форма по-късно, но един прост пример и типична инженерна и научна задача е следният:

В редицата от числа 1, 4, 7, 10, 13 какво е правилото, по което те се появяват? Отговорът може да бъде даден по различни начини. Един е чрез добавяне на 3 всеки път. Друг е, че n-тото число е 3 × n + 1.

Ключът е да дадем голямо разнообразие на математически опит и да не се дава всичко в ограничена и твърдо фиксирана форма. Това не е аргумент срещу методите на преподаване. Твърдението ни не е, че тогава ще е по-лесно да се учи обикновената аритметика (въпреки че от всичко, което знам, може би ще е така). Идеята е, че ще бъде като преподаване на нов предмет – една нагласа на ума спрямо числата и математическите въпроси, която е точно тази нагласа на ума, която е успешна по-късно в техническите приложения на математиката.

Няма да е достатъчно просто да се преподават нови предмети по стария начин. Например, беше препоръчано числата да се пишат в други бройни системи освен десетичната, в малките класове. Това би могло да послужи за илюстрация на свободата в математиката да се обобщава и да подпомогне за по-дълбокото разбиране на причината зад правилата за пренасяне в аритметичните операции. Затова, едно споменаване и обяснение с няколко примера може да заинтригува някои ученици. Но ако същината не е разбрана от някои деца, които са по-назад с подготовката, е безсмислено да се задълбава в безкрайни упражнения, сменяйки от една бройна система в друга (с друга основа освен 10). За такива ученици, за които едно кратко изложение не помогне, повече практика в обичайните изчисления с десетичната система е по-смислено, отколкото задълбаването в изчисления с петична и дванадесетична бройна система.

---

Автор: д-р Лъчезар Томов, за „Институт за прогресивно образование“

Очаквайте скоро още по темата.