Ричард Файнман е нобелов лауреат по физика, известен като „Великият просветител“, заради уменията си да запалва интереса на студентите към физиката и математиката. През 60-те години, по време на участието си в комисия за избор на новите учебници по математика за Калифорния, той написва статията „Нови учебници за новата математика“ („New textbooks for the new mathematics“), интересни моменти от която ще разкрия в този материал.

Принципите и методите, които Файнман предлага, можем да открием и в днешно време в системи като JUMP Math, а проблемите, които вижда в тогавашните учебници, се срещат и до ден-днешен в българските учебници по математика. Погледът на големия учен и просветител е задълбочен, като най-вече се фокусира върху практичната страна. В този и следващи материали ще ви запозная с това как Ричард Файнман смята, че трябва да се преподава на децата.

Какво целим

Да променим преподаването на аритметика, като се опитаме да направим по-интересно и по-лесно за учениците изграждането на нагласи на ума за анализ и откривателство, които са необходими за разбиране и ефективно използване на математиката в инженерството, науката и всички области през целия ни живот.

Основната промяна, която се изисква, е да се вкара гъвкавост в подхода, което липсва в по-старите учебници. Трябва да оставим свобода на ума да се лута, в опит да реши задачите. Въвеждането на нови предмети не ни дава предимство, ако те се преподават по стария начин. Човек трябва да има определена нагласа на ума, за да използва успешно математиката – да знае, че има много начини да се погледне и подходи към всяка задача и всяка тема.

Ако се нуждаете от отговор на определена задача – въпросът е как да го получите, как да достигнете до него. Успешният математик е практически изобретател на нови начини за получаване на отговори в дадени казуси. Дори ако начините са добре известни, за него е много по-лесно да го измисли, да го изведе по свой начин – нов или стар – отколкото да се опита да намери отговора, като го потърси в предишни подобни задачи. Въпросът, който той си задава, не е „Какъв е правилният начин да реша тази задача?“ – единственото важно и необходимо е да получи правилния отговор.

Той е като детектив, който прави догадки и напасва отговора към уликите за престъплението. Като следва уликите (условието), той предполага определени неща и след това вижда кое пасва най-много.

Всеки работещ начин е подходящ

Кой е най-добрият метод да получим решението на задача? Отговорът е – всеки начин, който работи.

Това, което искаме в учебниците по аритметика, не е да преподаваме определен начин за решаване на всеки проблем, а по-скоро да се открие какъв е първоначалният проблем и да дадем много по-голяма свобода при получаване на отговора. Разбира се, няма свобода относно това какъв е правилният отговор . Тоест, може да има няколко начина за събиране на 17 и 15, но има само един верен отговор.

Това, което правехме в миналото, е да преподаваме само един фиксиран начин да се решават аритметични задачи, вместо да развиваме гъвкавост на ума, да разгледаме различните възможни начини да опишем задачата, възможните начини как да мислим за нея и да разберем каква е задачата.

Истинският математик се отнася към математиката като творец. В окончателните му доказателства, които са просто демонстрация на логически аргументи, показващи, че определен извод е верен, по никакъв начин не се вижда как той работи, за да получи предположение какво е това, което трябва да докаже. За да стигне до процеса на доказване, математикът трябва да има гъвкав ум.

За да намеря пример за това, тъй като аз не съм „чист“ математик, посегнах към рафта и изтеглих книга, написана от „чист“ математик – „Системата на реалните числа в алгебрична трактовка“ от Дж. Б. Робъртс и веднага намерих цитат, който смятам за подходящ:

„Същността на математическото мислене е да получиш вдъхновение (проблясък) и да докажеш. Няма определени модели и процедура. Опитваме това и онова. Предполагаме. Опитваме се да обобщим резултата, за да направим доказателството по-лесно. Опитваме различни варианти, за да видим дали някак можем да получим идея по този начин. И накрая – кой знае как? – се получава доказателството.“

Така че виждате, че математическото мислене, както в чистата, така и в приложната математика, е свободен, интуитивен процес и ние искаме да поддържаме този дух на откривателство, когато въвеждаме децата в аритметиката още от самото начало. Смята се, че това не само ще научи хората, които ще ползват математика, да смятат по-добре, но и може да направи предмета по-интересен и по-лесен за учене.

За да извадя разговора за природата на математиката по-далеч от абстрактното и с цел да дам по-конкретни примери, избрах от материала за първи и втори клас – темата за събирането.

Предполагаме, че децата се учат първо да броят и след известно време стават много добри в броенето. Сега бихме искали да ги научим да събират. Следва да отбележим, че дете, което е много добро в броенето, да кажем до 50 или 100, може веднага да реши задачи като 17+15=32. Например, ако има 17 момчета и 15 момичета в класа, колко деца има общо в него? Тази задача няма нужда да бъде давана във фо̀рмата на абстрактно събиране; тя е просто въпрос на преброяване на момчетата, на момичетата и на целия клас. Ние имаме като резултат: 17 момчета плюс 15 момичета е равно на 32 деца. Този метод може да се използва, за да се съберат които и да е две числа, но разбира се е много бавен и изтощаващ за големи числа, или за голям брой задачи.

Съществуват подобни методи като броенето на пръсти или с други подобни средства.

Друг начин е да се брои наум. Като пример, едно дете може да добави 3 към 6 като брои 7,8,9. По-практичен метод е да се научат наизуст по-простите комбинации като 3+6, така че ако се появяват често, няма да има нужда да се брои.

Броенето на големи числа – или стотинки например – може да се опрости като се брои на групи, вместо да се броят всички стотинки. Можете да направите малки купчинки от по пет и да броите купчинките по пет; или по-добре – можете да ги превърнете в купчинки по десет и тогава да броите първо тях и остатъка. Събирането на числа тогава може да бъде направено по-лесно като се събират групите и остатъците заедно.

Други начини да разберете събирането е с линия, на която числата са маркирани, или нещо като календар, на който е написана серия от последователни числа. Така, ако искате да добавите 3 към 19, започвате от 19 и броите още 3 места по линията, като така достигате до 22. Ако тези последователни числа са написани на равни разстояния едно от друго наредени в линия – наречена числова линия – това става много полезно по-късно, за разбирането на дробите и също за измерванията, тъй като метърът и други неща като термометъра не са нищо друго, освен числови линии, написани по ръба на инструмента. Следователно, поставянето на числа в линия е полезно не само, за да се научи събирането, но и за да се разберат други типове числа.

Накрая, един специален трик, който може да се запомни на много основно ниво, е как да се сравняват числа по големина, без да се броят. Ако имаме две големи групи от неща, е лесно да видим коя група е по-голяма, като съпоставяме нещата две по две (като двойки чорапи) и гледаме коя група има остатък. Това е и начинът, по който се броят молекулите в газовете.

---

Автор: д-р Лъчезар Томов, за „Институт за прогресивно образование“

Очаквайте скоро продължение на статията